Fizyczna interpretacja funkcji pochodnej

W wielu zagadnienieach dysponujemy na przykład wykresem prędkości v jakiegoś pojazdu w funkcji czasu t i na podstawie tego wykresu v=f_1(t) pragniemy określić wykres przyspieszenia a jako funkcję czasu t, a więc chcemy znaleźć zależność a=f_2 (t) .

Chcemy obliczyć przyśpieszenie pojazdu w czasie. Chcemy obliczyć przyśpieszegnie tego pojazdu w chwili t_0 . Przypomnijmy, że przyśpieszenie jest stosunkiem przyrostu prędkości do przyrostu czasu, w którym ten przyrost prędkości wystąpił. Stosując obliczenia dla chwili t_0 w przybliżeniu mamy

a(t_o)\approx \frac{v_2-v_0}{t_2-t_0}=tg\alpha_B

Łatwo spostrzec, że obliczona przez nas wartość przyspieszenia a(t_0) (symbol ten należy czytać: wartość przyspieszenia a(t_0) w chwili t_0 ) nie jest dokładna i lepiej odpowiada wartości przyśpieszenia w następnej chwili t1. Chcąc dokładniej obliczyć wartość przyśpieszenia a(t_0) możemy napisać

a(t_o)\approx \frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}=tg\alpha_C

Jeszcze dokładniejsze obliczenie wartości przyśpieszenia a(t_0) wymaga posłużenia się jeszcze mniejszym przyrostem czasu i odpowiadającym mu mniejszym przyrostem prędkości. Dokładną wartość a(t_0) znajdziemy jako granicę

a(t_o)=lim \frac{v-v_0}{t-t_0}=tg\alpha_A

t \rightarrow t_0

Zauważmy, że ilorazy \frac{v_2-v_0}{t_2-t_0} oraz  \frac{v_1-v_0}{t_1-t_0} tangensami nachylenia względem osi x prostych przechodzących przez punkty A,B oraz A,C. Zależność mówiąca po prostu o tym, że trzeba podzielić przyrost prędkości v-v_0 przez dowolnie mały przyrost czasu t-t_0, określa wartość tg\alpha_A, gdzie \alpha_A jest kątem nachylenia stycznej do krzywej v=f_1 (t_1) w punkcie t_0 . Zgodnie z zależnością narysowano w punkcie t_0 rzędną o długości a(t_0)=tg\alpha_A. Postępując w podobny sposób dla innych inncyh chwiel t_1,\ t_2,\ t_3,\ \dots znajdziemy poszczególne rzędne szukanego wykresu a=f_2(t).

Ważne jest dla nas stwierdzenie, że sposób rysowania wykresu przyspieszenia a=f_2(t) na podstawie wykresu prędkości v=f_1(t) jest dokładnie taki sam, jak sposób rysowania wykresu y'=f'(x) na podstawie wykresu funkcji y=f(x) . Wynika stąd, że przebieg przyspieszenia w czasie jest funkcją pochodną względem przebiegu prędkości w czasie (lub krótko: pochodną przebiegu prędkości). Pojęcie funkcji pochodnej względem funkcji danej w matematyce jest miedzy innymi dlatego tak ważne, ponieważ wiele podstawowych pojęć fizyki i praw przyrody dotyczy funkcji pochodnej względem funkcji danej. Na przykład, przebieg w czasie i(t) natężenia prądu jest funkcją pochodną względem przebiegu w czasie q(t) ładunku elektrycznegom który przepłynął przez przekrój przewodnika.

About these ads

Dodaj komentarz

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

WordPress.com Logo

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Twitter picture

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s